Урок 3

Тема: Моделирование  в задаче выбора положения железнодорожной станции

Цель: научиться использовать модель для решения задач выбора положения железнодорожной станции

1. Повторение

- Перечислите основные этапы моделирования в задаче роста и убывания.

- Откройте файл Модель роста и убывания_1.xls. Используя данную модель, ответьте на вопросы (стр. 125, учебник).
- Откройте файл Модель роста и убывания_2.xls. Используя данную модель, ответьте на вопросы (задание 3, стр. 90, ТПО).


2. Самостоятельная работа
Задание 1. Откройте файл Модель роста и убывания_1(ср).xls.  Изменив построенную модель роста и убывания, решите предложенную задачу.

Запишите ответ на вопрос в файле в разделе "Ответы". Сохраните полученный результат   с именем Фамилия(рост_з1), отправьте файл учителю.
Задание 2. Откройте файл Модель роста и убывания_2(ср).xls.  Изменив построенную модель роста и убывания, решите предложенную задачу.

Запишите ответ на вопрос в файле в разделе "Ответы". Сохраните полученный результат   с именем Фамилия(рост_з2), отправьте файл учителю.

3. Изучение нового материала
    1) Прочитайте в учебнике § 23 стр.130
    2)  Посмотрите обучающее видео

Постановка задачи

 В районе расположения четырех населённых пунктов A, B, C, D проходит прямолинейный  участок железной дороги (см. рис.). По просьбе жителей в этом районе решено построить железнодорожную станцию и от неё прямолинейные автомобильные дороги к населённым пунктам. 
Найдите положение железнодорожной станции, при котором общая длина новых автомобильных дорог была бы минимальной.

Выбор плана создания модели

Что является объектом исследования? - положение железнодорожной станции на участке железной дороги.

Выделим предположения, существенные для решения задачи:
- участок дороги, проходящий по территории района, прямолинеен;
- в любом месте дороги можно построить станцию и соединить ее дорогами с каждым населенным пунктом;
- дороги - прямолинейные отрезки.

Речь идет о положении станции на некотором участке поверхности. Поэтому удобно ввести декартову систем координат.

Что является исходными данными? - координаты населенных пунктов, длина участка, т.е. отрезка, обозначающего на карте ; железную дорогу. 
Что будет результатом? - координаты станции.

Создание документальной математической модели

Что представляет собой математическая модель решения данной задачи? 
Возьмем любую точку на отрезке железной дороги (точка К), обозначающая станцию. Тогда расстояние между точками можно определить по формуле:

Пусть (х₁, у₁) – координаты точки А, (х₂, у₂) – координаты точки В, (х₃, у₃) – координаты точки С, (х₄ , у₄) – координаты точки D, (х, 0) – координаты точки К.

Тогда расстояние от населенного пункта до станции вычислим по формулам:

Пусть S - сумма длин всех дорог. Тогда  S=AK+BK+CK+DK.
Чтобы определить где построить станцию, надо узнать, при каком r сумма будет минимальной.

Создание компьютерной модели
Найдем приблизительное х. Для этого разобьем отрезок на равные части. Из анализа чертежа на координатной плоскости следует, что нет смысла брать точку К левее крайней левой точки и правее крайней правой точки. Значит, начальное значение х равно 1, а максимальное значение - 8. Шаг переменной х зададим 0,25. Получится, что расчеты будем вести в 29 точках:
 (8 - 1) / 0,25 + 1 = 29.
Как заполнить первую строку расчетной таблицы?
А12: =A7
В12: =КОРЕНЬ(($В$4-A12)^2 + $B$5^2)
С12: =КОРЕНЬ(($C$4-A12)^2 + $C$5^2)
D12: =КОРЕНЬ(($D$4-A12)^2 + $D$5^2)
E12: =КОРЕНЬ(($E$4-A12)^2 + $E$5^2)
F15: =СУММ(B12:E12)
Что будет отображаться во второй строке расчетной таблицы? 
А13: =A12 + $A$8
Далее в расчетной таблице используется заполнение.

 Исследование модели и получение решения задачи

Для получения ответов, проанализируйте полученную расчетную таблицу.
Находим значение х, при котором функция "Сумма" принимает минимальное значение.
Проверь себя! Железная дорога.xls

4. Закрепление нового материала

1) Найдите решение задачи для населённых пунктов с координатами А(2;6), В(3;-3), С(7;5), D(10;-5)

2) Найдите решение задачи для населённых пунктов с координатами А(1;3), В(1;-4), С(5;5), D(6;-2), Е(7;4)

3*) Населенные пункты имеют координаты: А(2;4), В(3;-5), С(4;7), D(8;-4). Железная дорога проходит по линии у=0. Найдите положение железнодорожной станции, при котором она по возможности более равномерно удалена от всех 4-х пунктов (разность между расстоянием до дальнего пункта и расстоянием до ближайшего будет минимальной). Указание: добавить в расчетную таблицу графу разность с формулой МАКС()-МИН( )

5. Домашнее задание: §23, разобрать упр.3 стр.133.